Михаил Давидович Александрович родился 23 июля 1914 года в селе Берспилс (Латвия).
Родители М. Александровича работали на сельском постоялом дворе, обслуживали корчму и торговую лавку. Отец, музыкант-самоучка, прививал своим детям любовь к музыке, учил их пению и игре на скрипке. Особое внимание он стал уделять четырехлетнему Мише, у которого обнаружил чистый и сильный голос, великолепную музыкальную память и отличный слух.

И в 1921 году семья Александровичей, в которой было уже пятеро детей, перебралась в столицу Латвии - Ригу, где Миша стал учиться в Народной еврейской консерватории.

19 октября 1923 г. в Риге состоялся первый публичный концерт девятилетнего Михаила Александровича, прошедший с большим успехом. В 1924—1926 гг. юный певец с большим успехом выступал в Латвии, Литве, Эстонии, Польше, Германии.
В период ломки голоса (1927-1933) М.Александрович учился в гимназии и игре на скрипке в Рижской консерватории. Вновь с сольным концертом он выступил в Риге 1 января 1933 г. и в этом же году стал работать кантором в рижской синагоге. В августе 1934 г. переехал в Манчестер (Англия), где стал главным кантором местной синагоги. Проживая и работая в Англии, М.Александрович периодически выезжал в Италию, где совершенствовался в пении у знаменитого тенора Беньямино Джильи.
В 1937 г. Александрович переехал в Литву, где стал кантором хоральной синагоги "Оэль Яаков" в Каунасе, пел в опере и давал концерты.
В 1940 г. М.Александрович получил приглашение от Белорусской госэстрады на работу в Минск и с весны 1941 г. стал выступать с концертами в Минске и других городах Белоруссии.
Во время Великой Отечественной войны М.Александрович много пел для солдат, гастролировал в Баку, Тбилиси, Ереване.
5 июля 1943 г. М.Александрович впервые выступил с концертом в Москве. Чарующий бархатный голос певца и виртуозное исполнение им трудных оперных арий вызвало восторг московской публики. Начиная с 1945 г. он много и с неизменным успехом гастролировал по Советскому Союзу.
В 1947 г. Михаил Александрович получил звание Заслуженный артист РСФСР. В СССР с 1944 по 1965 г. выпущено около 90 пластинок певца общим тиражом более 22  млн. экземпляров. Вместе с тем за все годы жизни в СССР певцу ни разу не была предоставлена возможность гастролей на Западе.
В октябре 1971 г. М.Александрович с семьей выехал на постоянное жительство в Израиль, а в 1973 г. переехал в США. С успехом концертировал в Тель-Авиве, Нью-Йорке, Торонто, Рио-де-Жанейро, Сиднее, Буэнос-Айресе, выступал с канторским пением в синагогах. В 1985 г. в Мюнхене были изданы мемуары М. Александровича "Я помню..." (в 1992 г. изданы в Москве). В 1989 г. Михаил Александрович провел месяц в гастрольном турне по Советскому Союзу и в мае 1991 г. вновь выступал с концертами в Москве.
Умер певец в июле 2002 года в Мюнхене.