Мурад Магомедович Кажлаев родился 15 января 1931 года в Баку в семье профессора медицины.
Музыкальное образование получил в Азербайджанской консерватории, которую окончил в 1955 г. Работал преподавателем музыкального училища в Махачкале, главным дирижёром симфонического оркестра Дагестанского радио, художественным руководителем Дагестанской филармонии.
С 1963 года - председатель правления Союза композиторов Дагестанской АССР. С 1990 г. руководил концертным эстрадным оркестром радио и телевидения им. Ю.В.Силантьева.

Автор первого дагестанского балета «Горянка» (по мотивам поэмы Р. Гамзатова).
Награждён 2-й премией и специальным призом на 3-м Международном фестивале джазовой музыки в Праге (1966). Лауреат Государственной премии Дагестанской АССР (1967) и Государственной премии России имени М.И.Глинки (1970). Заслуженный деятель искусств России (1960). Народный артист СССР (1981).